9. Spatial Gillespie Method¶

9.1. E-Cell4 における空間表現¶

E-Cell4における空間表現とはどのようなものでしょうか?

In [1]:

from ecell4 import *

w1 = ode.ODEWorld(Real3(1, 1, 1))
w2 = gillespie.GillespieWorld(Real3(1, 1, 1))

ODEWorld と GillespieWorld にサイズ 1 の立方体を作成しました。この場合、重要なのはボリュームのみです。

In [2]:

w3 = ode.ODEWorld(Real3(2, 0.5, 1))  # is almost equivalent to 'w1'
w4 = gillespie.GillespieWorld(Real3(2, 2, 0.25))  # is almost equivalent to 'w2'

これは同じ結果を返します。ボリュームが同じ 1 であるためです。

これは均一な系では妥当ですが、細胞は均一な系ではありません。したがって、我々は分子の局在化のために空間表現を考慮する必要があります。

E-Cell4では、いくつかのタイプの空間表現とシミュレーション方法を使用できます。ここではSpatial Gillespie Methodの例を示します。

9.2. Spatial Gillespie Method¶

E-Cell4では、Spatial Gillespie Method が meso モジュールに含まれています。

まずは ode でのように run_simulationから始めてみましょう。

In [3]:

%matplotlib inline
import numpy
from ecell4 import *

with reaction_rules():
    A + B == C | (0.01, 0.3)

y = run_simulation(numpy.linspace(0, 10, 100), {'C': 60}, solver='meso')

定常状態においては、 C の数は以下のように与えられます。

$\frac{d\mathrm{C}}{dt}=0.01{\cdot}\frac{\mathrm{A}}{V}{\cdot}\frac{\mathrm{B}}{V}-0.3{\cdot}\frac{\mathrm{C}}{V}=0\\ 0.01\left(60-\mathrm{C}\right)^2=0.3\mathrm{C}\times V\\ \mathrm{C}=30.$

あなたは ode や gillespie とほとんど同じ結果を得るでしょう (ode や gillespie よりも時間はかかるかもしれません)。

これは当然のことです。なぜなら、meso モジュールは、追加の空間パラメータを与えない限り、Gillespieとほぼ同じだからです。

次に、 run_simulationを分解して見てみましょう。

In [4]:

from ecell4 import *

with reaction_rules():
    A + B == C | (0.01, 0.3)

m = get_model()

w = meso.MesoscopicWorld(Real3(1, 1, 1), Integer3(1, 1, 1))  # XXX: Point2
w.bind_to(m)  # XXX: Point1
w.add_molecules(Species('C'), 60)

sim = meso.MesoscopicSimulator(w)  # XXX: Point1
obs = FixedIntervalNumberObserver(0.1, ('A', 'B', 'C'))
sim.run(10, obs)

viz.plot_number_observer(obs)

これは MesoscopicWorld と MesoscopicSimulator を除いて普段のものと変わりませんが、いくつかの新しい要素が見えるかと思います。

まず w.bind_to(m) で、Model を World に関連付けました。以前の基本的な演習では、私たちはこれをしませんでした。

spatial methodでは、Species の属性が必要です。これを忘れないでください。その後、 MesoscopicSimulatorを作るためには World だけが必要です。

次に、重要な違いは、MesoscopicWorld の2番目の引数、すなわち Integer3(1,1,1) です。 ODEWorldとGillespieWorldはこの第二引数を持っていません。これを説明する前に、この引数を変更してシミュレーションを再実行してみましょう。

In [5]:

from ecell4 import *

with reaction_rules():
    A + B == C | (0.01, 0.3)

m = get_model()

w = meso.MesoscopicWorld(Real3(1, 1, 1), Integer3(4, 4, 4))  # XXX: Point2
w.bind_to(m)  # XXX: Point1
w.add_molecules(Species('C'), 60)

sim = meso.MesoscopicSimulator(w)  # XXX: Point1
obs = FixedIntervalNumberObserver(0.1, ('A', 'B', 'C'))
sim.run(10, obs)

viz.plot_number_observer(obs)

先程とは異なるプロットが出ているはずです。 Integer3 の値を大きくすると、より大きく異なっているプロットになるでしょう。

実は、この第2引数は、空間パーティションの数を意味します。

meso は gillespie とほぼ同じですが、meso は空間を立方体に分割します（我々はこの立方体をサブボリュームと呼んでいます）。そして gillespie がただ1つの均一な閉鎖空間を持つのとは対照的に、各サブボリュームは異なる分子濃度を有します。

したがって、前の例では、我々は 1 の辺を持つ1つの立方体を，辺 0.25 の64(444) 個の立方体に分割したわけです。

そして次に60個の C 分子を World に投げました。したがって、各サブボリュームにはせいぜい1つのspeciesしかないわけです。

9.3. 分子の拡散係数の定義¶

先程の違いはどこから来ているのでしょうか?

これは meso で space を得たにもかかわらず，分子の拡散係数を考慮していないためです。

拡散係数を設定するには、前に(2. モデルの構築方法) で述べた方法で Species の attribute D を使います。

1. E-Cell4シミュレーションの概要でお見せしたように，ここでは E-Cell4 の特殊記法を用います。

In [6]:

with species_attributes():
    A | {'D': '1'}
    B | {'D': '1'}
    C | {'D': '1'}

    # A | B | C | {'D': '1'}  # means the same as above

get_model()

Out[6]:

<ecell4.core.NetworkModel at 0x7ff0add53c48>

with species_attributes(): ステートメントで拡散係数を設定することができます。

ここでは、すべての拡散係数を 1 に設定します。このモデルをもう一度シミュレートしましょう。

今度は、大きな Integer3 の値でも gillespie とほぼ同じ結果を得るはずです（シミュレーションには gillespie よりはるかに時間がかかります）。

分子拡散は問題に対してどのように働いたのでしょうか?

3D空間で自由拡散 (Speciesの拡散係数は $D$ )を考えてみましょう。

拡散係数の単位は、

$ :raw-latex:`\mathrm{\mu m}`^2/s $ or $ :raw-latex:`mathrm{nm}`^2/:raw-latex:`mu `s $

のように(空間の)長さの2乗を時間で割ったものです。

時間$ 0

System Message: WARNING/2 (から)

latex exited with error [stdout] This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.16 (TeX Live 2015/Debian) (preloaded format=latex) restricted \write18 enabled. entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2016/02/01> Babel <3.9q> and hyphenation patterns for 81 language(s) loaded. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2014/09/29 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12363 = U+304B, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $から$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12425 = U+3089, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $から $ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 240 bytes). Transcript written on math.log.

t

System Message: WARNING/2 (までの点の距離の平方の平均が)

latex exited with error [stdout] This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.16 (TeX Live 2015/Debian) (preloaded format=latex) restricted \write18 enabled. entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2016/02/01> Babel <3.9q> and hyphenation patterns for 81 language(s) loaded. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2014/09/29 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12414 = U+307E, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12391 = U+3067, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12398 = U+306E, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-112.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-112.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 28857 = U+70B9, (ucs) possibly declared in uni-112.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ Package ucs Warning: Unknown character 12398 = 0x306E appeared again. on input line 12. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-141.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-141.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 36317 = U+8DDD, (ucs) possibly declared in uni-141.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-150.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-150.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 38626 = U+96E2, (ucs) possibly declared in uni-150.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ Package ucs Warning: Unknown character 12398 = 0x306E appeared again. on input line 12. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-94.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-94.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 24179 = U+5E73, (ucs) possibly declared in uni-94.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-101.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-101.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 26041 = U+65B9, (ucs) possibly declared in uni-101.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ Package ucs Warning: Unknown character 12398 = 0x306E appeared again. on input line 12. Package ucs Warning: Unknown character 24179 = 0x5E73 appeared again. on input line 12. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-87.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-87.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 22343 = U+5747, (ucs) possibly declared in uni-87.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12364 = U+304C, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $までの点の距離の平方の平均が $ Overfull \hbox (319.22516pt too wide) in paragraph at lines 12--13 []$[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]$ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 484 bytes). Transcript written on math.log.

6Dt $に等しいことが知られています。

逆に、長さスケール$ l

System Message: WARNING/2 (の空間における時間スケールの平均は約)

latex exited with error [stdout] This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.16 (TeX Live 2015/Debian) (preloaded format=latex) restricted \write18 enabled. entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2016/02/01> Babel <3.9q> and hyphenation patterns for 81 language(s) loaded. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2014/09/29 v1.4h Standard LaTeX document class (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/utf8x.def)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/ucs.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-global.def)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/ucsencs.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12398 = U+306E, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-122.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-122.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 31354 = U+7A7A, (ucs) possibly declared in uni-122.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-149.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-149.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 38291 = U+9593, (ucs) possibly declared in uni-149.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12395 = U+306B, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12362 = U+304A, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12369 = U+3051, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12427 = U+308B, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-102.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-102.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 26178 = U+6642, (ucs) possibly declared in uni-102.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ Package ucs Warning: Unknown character 38291 = 0x9593 appeared again. on input line 12. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12473 = U+30B9, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12465 = U+30B1, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12540 = U+30FC, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12523 = U+30EB, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 $の空間における時間スケールの平均は約$ Package ucs Warning: Unknown character 12398 = 0x306E appeared again. on input line 12. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-94.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-94.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 24179 = U+5E73, (ucs) possibly declared in uni-94.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 ...空間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-87.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-87.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 22343 = U+5747, (ucs) possibly declared in uni-87.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 ...間における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-48.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 12399 = U+306F, (ucs) possibly declared in uni-48.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 ...における時間スケールの平均は約$ (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-125.def) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uninames.dat) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ucs/data/uni-125.def) ! Package ucs Error: Unknown Unicode character 32004 = U+7D04, (ucs) possibly declared in uni-125.def. (ucs) Type H to see if it is available with options. See the ucs package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.12 ...おける時間スケールの平均は約 $ Overfull \hbox (516.82526pt too wide) in paragraph at lines 12--13 []$[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]$ [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 572 bytes). Transcript written on math.log.

l ^ 2 / 6D $です。

上記の場合、各サブボリュームのサイズは0.25であり、拡散係数は1です。したがって、時間スケールは約0.01秒になります。

Species A と B の分子が同じサブボリュームにある場合、反応に約1.5秒かかるので、ほとんどの場合、拡散は反応よりも速く、同じサブボリュームで解離した場合でも分子は他のサブボリュームに移動します。

小さな $l$ では、より小さなサブボリュームの体積 $l^3$ となるので、解離後の反応速度は速くなり、サブボリューム間の拡散時間と遷移時間も小さくなります。

9.4. 分子の局在¶

我々は add_molecules 関数を使って、ode や gillespie と同じように World に分子を追加しました。一方、 MesoscopicWorld では、空間表現に従って分子を入れることができます。

In [7]:

from ecell4 import *

w = meso.MesoscopicWorld(Real3(1, 1, 1), Integer3(3, 3, 3))
w.add_molecules(Species('A'), 120)
w.add_molecules(Species('B'), 120, Integer3(1, 1, 1))

MesoscopicWorld では、第3引数 Integer3 を add_molecules に与えることでサブボリュームと分子の位置を設定できます。

上記の例では、Speciesタイプ A は空間全体に広がっていますが、Speciesタイプ B は、ボリュームの中心のサブボリュームにのみ位置するようになっています。

またこれらの一情報をチェックするには、座標と共に num_molecules関数を使います。

In [8]:

print(w.num_molecules(Species('B')))  # must print 120
print(w.num_molecules(Species('B'), Integer3(0, 0, 0)))  # must print 0
print(w.num_molecules(Species('B'), Integer3(1, 1, 1)))  # must print 120

120
0
120

さらに、Jupyter Notebook 環境があれば、 ecell4.viz モジュールを使って分子の位置を可視化することができます。

In [9]:

# viz.plot_world(w, radius=0.01)
viz.plot_world(w, interactive=False)

viz.plot_world 関数は、 World を与えることによって、Jupyter Notebookのセルで分子の位置を可視化します。

分子のサイズは radius で設定できます。

それでは分子の局在を World に設定し、これをシミュレートしてみましょう。

上記の例では、拡散係数 1 とWorldサイズ 1 を設定しているので、かき混ぜる時間は 10 秒で十分です。

シミュレーションの後で viz.plot_world を再度呼び出して結果を確認してください。

9.5. 分子の初期位置とその反応¶

これは、分子の局在が反応にどのように影響するかを調べる極端な例です。

In [10]:

%matplotlib inline
from ecell4 import *

with species_attributes():
    A | B | C | {'D': '1'}

with reaction_rules():
    A + B > C | 0.01

m = get_model()
w = meso.MesoscopicWorld(Real3(10, 1, 1), Integer3(10, 1, 1))
w.bind_to(m)

このモデルは単純な結合反応のみからなります。 World はx軸に長い直方体であり、分子は中心から離れた位置にあります。

In [11]:

w.add_molecules(Species('A'), 1200, Integer3(2, 0, 0))
w.add_molecules(Species('B'), 1200, Integer3(7, 0, 0))
# viz.plot_world(w, radius=0.025)
viz.plot_world(w, interactive=False)

別の注意点として、Integer3(0, 0, 0) または Integer3(9, 0, 0) を設定しない理由があります。

E-Cell4では、基本的にすべてに周期的境界条件を採用しています。

したがって、前述の2つのサブボリュームは実際には隣接しています。

期待される位置を実現した後、 MesoscopicSimulator でシミュレートしてみましょう。

In [12]:

sim = meso.MesoscopicSimulator(w)
obs1 = NumberObserver(('A', 'B', 'C'))  # XXX: saves the numbers after every steps
sim.run(5, obs1)
viz.plot_number_observer(obs1)

In [13]:

# viz.plot_world(w, radius=0.025)
viz.plot_world(w, interactive=False)

初期座標の効果を確認するには、分子を meso で均一に配置するか、 gillespie でシミュレートすることをお勧めします。

In [14]:

w = meso.MesoscopicWorld(Real3(10, 1, 1), Integer3(10, 1, 1))
w.bind_to(m)
w.add_molecules(Species('A'), 1200)
w.add_molecules(Species('B'), 1200)

sim = meso.MesoscopicSimulator(w)
obs2 = NumberObserver(('A', 'B', 'C'))  # XXX: saves the numbers after every steps
sim.run(5, obs2)
viz.plot_number_observer(obs1, "-", obs2, "--")

実線はバイアスをかけたケースで、破線はかけていないものになります。

バイアスがかかっている場合の反応は明らかに遅いです。

また、時系列の形状も実線と破線の間で異なっていることがわかります。

これは、最初の分離のために分子AおよびBが衝突するのにある程度の時間がかかるからです。

実際には、A と B の間の最初の距離（約4）を移動するには $4^2/2(D_\mathrm{A}+D_\mathrm{B})=4$ 秒かかります。